Calcolo tangente

Ricordo il quesito di partenza: come fanno le funzioni di excel a calcolare seno, coseno, tangente solo partendo da un angolo, senza il valore di cateti e ipotenusa? La stessa cosa dicasi per le calcolatrici scientifiche; scrivi i gradi di un angolo, premi il pulsante e arriva il risultato.

Ora che il quesito (per me) è più chiaro, posso tentare una risposta più adatta
ma a monte di questo che cosa è il seno ? e il coseno ?
Prendiamo una circonferenza goniometrica di centro O e diametro orizzontale passante per O (per es. D-O-R).
Nel quadrante superiore destro, dal centro O tracciamo un raggio O-P che intersecherà la circonferenza nel punto P e formerà col diametro un angolo Alfa in O.
dal punto P tracciamo un segmento verticale che intersecherà il diametro in modo ortogonale nel punto S

Il seno di tale angolo Alfa è l'ordinata del punto P associato all'angolo Alfa, e cioè il segmento P-S
Il coseno di tale angolo Alfa è l'ascissa del punto P associato all'angolo Alfa, e cioè il segmento O-S
La tangente di tale angolo è il rapporto fra il seno e il coseno dell'angolo Alfa, quindi non serve cateto e ipotenusa per ottenerla.
Il raggio O-P è quindi l'ipotenusa del triangolo rettangolo O-P-S, che non c'entra niente con la tangente.
La tangente invece puo' essere raffigurata da un segmento verticale che partendo dal punto R salga in modo ortogonale al diametro fino ad incrociare, per es. in T il prolungamento, esterno alla circonferenza, del raggio O-P.
E' facile osservare che il triangolo rettangolo O-T-R è "simile" al triangolo O-P-S, per cui la tangente T-R sta al semidiametro O-R come il seno P-S sta al coseno O-S.
Ma questa premessa si vedeva bene nella figura che ho inserito nel mio ultimo allegato.

Se la circonferenza è di raggio Unitario, cioè = 1, chiedendo le varie funzioni si otterranno i valori che siamo soliti vedere per seno, coseno, tangente, ecc.
Per me è facile osservare che il raggio unitario è anche proprio l'ipotenusa del triangolo, e non dovrei essere io a dire come fare nel caso che seno, coseno, tangente, ecc. fossero diversi dai valori canonici di tali funzioni.

Riepilogando seno e coseno sono i 2 cateti, e il raggio è l'ipotenusa quando tale triangolo è iscritto in una circonferenza; e quando tale circonferenza ha come raggio 1, seno, coseno, tg ecc. hanno i valori che conosciamo.
Per conoscere seno, cos e altri è sufficiente l'angolo perchè si tratta di rapporti costanti, mentre per risolvere un qualsiasi triangolo rettangolo, oltre all'angolo è necessario conoscere almeno un altro elemento e dedurre in proporzione gli altri elementi, dal momento che si tratta di triangoli SIMILI.

Come nasce il risultato di una funzione goniometrica ?
In rete si trovano varie tabelle che riportano i valori di funzioni corrispondenti ai vari angoli, ma non potranno mai dire i valori dei milioni di sottoangoli possibili, e quindi NON è immaginabile che Excel contenga tabelle mostruose, bensì bisogna ipotizzare che contenga un certo numero di FORMULE che restituiscono i vari seno, coseno, tangente, ecc.
Queste formule (Analisi Matematica, Derivate, Limiti), tra cui spiccano quelle di Taylor, Mac Laurin, Peano, ecc. interpellano la CPU, e più precisamente la Unità Logico-Aritmetica (ALU), ottenendo i valori cui siamo abituati.
Penso che in un pc, e credo anche in una calcolatrice, non esista l'operazione seno, o coseno o tangente in modo assoluto, ma che questi vengano ricavati con le operazioni fondamentali del processore e co-processore, con l'aggiunta, via software, di altre funzioni superiori, es. appunto limiti, derivate ecc.
Questa è l'idea che io mi sono fatta per rispondere alla domanda iniziale.
E dopo questa sudata pazzesca spero di non aver detto troppe castronerie, ma nel caso.....abbiate la sensibilità di correggermi.
L'amico matematico ? è ovvio, parlare a voce è molto più facile.

LEO